Elementweiser Aufbau der Matrix K_h und des Vektors f_h ohne Berücksichtigung der Randbedingungen

Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen:

Für das Elements T^(r) erhalten wir die Elementsteifigkeitsmatrix K^(r):

mit:

- ist das Referenzelement und die Koordinate über ihm.
- _i und _j sind die auf dem Referenzelement definierten Formfunktionen
- : Wärmeleitzahlen des Materials.
- ist der Anzahl der Knoten pro Element
- J^(r) ist die Jacobi-Matrix des Transformations, die die Abbildung des Referenzelements auf ein beliebiges Element T^(r) der Vernetzung realisiert.

Berechnung der Elementlastvektoren:

Die Elementlastvektoren f^(r) werden auf analoge Weise wie die Elementsteifigkeitsmatrizen K^(r) berechnet, d.h.

mit: : Koordinaten über dem Element T^(r)

Berücksichtigung der Randbedingungen 1. Art:

Um diese Randbedingungen zu berücksichtigen, korrigieren wir die rechte Seite durch:

gilt mit:

- g₁(x_j) : Wert der Dirichlet Randbedingung in Punkt x_j
- : Indexmenge, welche die Nummern der Nicht-Dirichlet-Knoten im Element T^(r) enthält.
- : Indexmenge, welche die Nummern der Dirichlet-Knoten im Element T^(r) enthält.

Wir korrigieren auch die Steifigkeitsmatrix durch:

mit : Indexmenge, welche die Nummern der Knoten im Element T^(r) enthält.

Assemblierung der Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren:

Die Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren werden durch den folgenden Algorithmus assembliert. Wir benutzen diesen Algorithmus für jeden Elementbereich, weil zwei verschiedene Bereiche verschiedene Wärmeleitzahlen haben.

Für jeden Elementbereich

Für jedes Element T^(r) des Bereichs

Berechne K^(r) und f^(r)

Berücksichtigung der Randedingungen 1. Art: f^(r) und K^(r) werden korrigiert

Für jeden Knoten des Elements, der i als globale Nummer und k als lokale Nummer hat.

Für Jeden Knoten des Elements, der j als globale Nummer und l als lokale Nummer hat.