Elementweiser Aufbau der Matrix Kh und des Vektors fh ohne Berücksichtigung der Randbedingungen

 

Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen:

Für das Elements T(r) erhalten wir die Elementsteifigkeitsmatrix K(r):

mit:

- ist das Referenzelement und die Koordinate über ihm.
- i und j sind die auf dem Referenzelement definierten Formfunktionen
- : Wärmeleitzahlen des Materials.
- ist der Anzahl der Knoten pro Element
- J(r) ist die Jacobi-Matrix des Transformations, die die Abbildung des Referenzelements auf ein beliebiges Element T(r) der Vernetzung realisiert.

 


 

Berechnung der Elementlastvektoren:

Die Elementlastvektoren f(r) werden auf analoge Weise wie die Elementsteifigkeitsmatrizen K(r) berechnet, d.h.

mit: : Koordinaten über dem Element T(r)

 


 

Berücksichtigung der Randbedingungen 1. Art:

Um diese Randbedingungen zu berücksichtigen, korrigieren wir die rechte Seite durch:

gilt mit:

- g1(xj) : Wert der Dirichlet Randbedingung in Punkt xj
- : Indexmenge, welche die Nummern der Nicht-Dirichlet-Knoten im Element T(r) enthält.
- : Indexmenge, welche die Nummern der Dirichlet-Knoten im Element T(r) enthält.

 

Wir korrigieren auch die Steifigkeitsmatrix durch:

mit : Indexmenge, welche die Nummern der Knoten im Element T(r) enthält.

 


 

Assemblierung der Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren:

Die Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren werden durch den folgenden Algorithmus assembliert. Wir benutzen diesen Algorithmus für jeden Elementbereich, weil zwei verschiedene Bereiche verschiedene Wärmeleitzahlen haben.

Für jeden Elementbereich

Für jedes Element T(r) des Bereichs

Berechne K(r) und f(r)

Berücksichtigung der Randedingungen 1. Art: f(r) und K(r) werden korrigiert

Für jeden Knoten des Elements, der i als globale Nummer und k als lokale Nummer hat.

Für Jeden Knoten des Elements, der j als globale Nummer und l als lokale Nummer hat.