Calcul de la matrice Kh et du vecteur fh sans prise en compte des conditions aux limites

 

Calcul de la matrice de rigidité élémentaire :

Pour l'élément T(r) la matrice de rigidité élémentaire K(r) est définie par :

avec :

- est l'élément de référence et les coordonnées sur cet élément.
- i etj sont les fonctions de forme définies sur l'élément de référence.
- : les coefficients de condictivité thermique du matériau.
- est le nombre de noeuds par élément.
- J(r) est la matrice jacobienne de la transormation qui fait passer de l'élément de référence à un élément quelconque du maillage T(r).

 


 

Calcul du vecteur second membre élémentaire :

Le vecteur second membre élémentaire f(r) est calculé d'une manière analogue à la matrice de rigidité élémentaire K(r), c'est à dire

avec : : les coordonnées sur l'élément T(r)

 


 

Prise en compte des conditions aux limites de type 1 :

Pour prendre ces conditions aux limites en compte, le vecteur second membre est modifié avec la methode suivante :

avec :

- g1(xj) : la valeur de la condition aux limites de Dirichlet au point xj
- : ensemble contenant les indices des noeuds de l'élément T(r) qui ne sont pas des noeuds de Dirichlet.
- : ensemble contenant les indices des noeuds de Dirichlet de l'élément T(r).

 

La matrice de rigidité est aussi modifiée par :

avec : ensemble contenant les indices des noeuds de l'élément T(r).

 


 

Assemblage des matrices de rigidité élémentaires et des vecteurs second membre élémentaires :

Les matrices de rigidité élémentaires et des vecteurs second membre élémentaires sont assemblés grâce à l'algorithme suivant. Cet algorithme est utilisé pour chaque domaine du maillage car chaque domaine a des coefficients de conductivité thermique différents.

Pour chaque domaine du maillage

Pour chaque élément T(r) du maillage

Calcul de K(r) et f(r)

Modification de f(r) et K(r) pour prendre en compte les conditions aux limites de type 1

Pour chaque noeud de l'élément, dont on note i le numéro global et k le numéro local

Pour chaque noeud de l'élément, dont on note j le numéro global et l le numéro local