Elementweiser Aufbau der Matrix Kh und des Vektors fh ohne Berücksichtigung der Randbedingungen
Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen:
Für das Elements T(r) erhalten wir die Elementsteifigkeitsmatrix K(r):
mit:
- ist das
Referenzelement und
die Koordinate über ihm.
- i
und
j
sind die auf dem Referenzelement definierten Formfunktionen
- : Wärmeleitzahlen
des Materials.
- ist der Anzahl
der Knoten pro Element
- J(r) ist die Jacobi-Matrix des Transformations, die die Abbildung
des Referenzelements
auf ein beliebiges Element T(r) der Vernetzung realisiert.
Berechnung der Elementlastvektoren:
Die Elementlastvektoren f(r) werden auf analoge Weise wie die Elementsteifigkeitsmatrizen K(r) berechnet, d.h.
mit:
: Koordinaten über dem Element T(r)
Berücksichtigung der Randbedingungen 1. Art:
Um diese Randbedingungen zu berücksichtigen, korrigieren wir die rechte Seite durch:
gilt mit:
- g1(xj) : Wert der Dirichlet Randbedingung in
Punkt xj
- : Indexmenge,
welche die Nummern der Nicht-Dirichlet-Knoten im Element T(r) enthält.
- : Indexmenge,
welche die Nummern der Dirichlet-Knoten im Element T(r) enthält.
Wir korrigieren auch die Steifigkeitsmatrix durch:
mit
: Indexmenge, welche die Nummern der Knoten im Element T(r) enthält.
Assemblierung der Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren:
Die Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren werden durch den folgenden
Algorithmus assembliert. Wir benutzen diesen Algorithmus für jeden Elementbereich,
weil zwei verschiedene Bereiche verschiedene Wärmeleitzahlen haben.
Für jeden Elementbereich
Für jedes Element T(r) des Bereichs
Berechne K(r) und f(r)
Berücksichtigung der Randedingungen 1. Art: f(r) und K(r) werden korrigiert
Für jeden Knoten des Elements, der i als globale Nummer und k als lokale Nummer hat.
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Für Jeden Knoten des Elements, der j als globale Nummer und l als lokale Nummer hat.